Probabilidades en La Bonoloto

Consiste en elegir 6 números del 1 al 49 y a la hora de sellar el boleto, el terminal nos da un número del 0 al 9 paradeterminar el reintegro.
Los sorteos de la Bonoloto se realizan los lunes, martes, miércoles y viernes y el precio de cada apuesta es de 50 Céntimos, siendo el mínimo de apuestas de dos apuestas por boleto.
Seguidamente mostramos la probabilidad que tenemos de acertar un premio de 6 aciertos, 5+C, 5, 4 y 3 aciertos es la siguiente:

Categoría	Aciertos	Favorables	Probabilidad
1º	6	1/13.983.816	0,0000000715
2º	5 + C	6/13.983.816	0,000000429
3º	5	252/13.983.816	0,0000180
4º	4	13545/13.983.816	0,000969
5º	3	246.820/13.983.816	0,0176

Las combinaciones posibles que hay en el juego son de 13.983.816. Es decir, existen casi catorce millones de posibles Combinaciones Ganadoras surgidas de las tantas combinaciones de 6 números sobre 49 números posibles.

La posición de cada número no es relevante en nuestro estudio de probabilidades, por tanto, da igual el orden de salida de los números.

Por tanto las probabilidades de acertar un premio de primer categoría con una sola apuesta es de una entre 13.983.816. Para el resto de categorías las probabilidades de acertar un premio jugando una sola apuesta es de una entre:

Aciertos	Probabilidad de acierto con 1 apuesta
6 Aciertos	1 / 13.983.816
5+C Aciertos	1 / 2.330.636
5 Aciertos	1 / 55.491
4 Aciertos	1 / 1.032 (0,097%)
3 Aciertos	1 / 57 (1,77%)
Reintegro	1 / 10 (10%) (reintegro)

La probabilidad que no acertar ningún número es de casi un 50 % surgido de dividir los casos favorables (6.096.454) entre los casos posibles (13.983.816). En el sorteo hay 6 números de la Combinación Ganadora que son los elegidos, y al mismo tiempo hay 43 (49-6) números no elegidos y por tanto, la probabilidad de que los seis números elegidos no sean los elegidos es de 6.096.454/13.983.816 = 0,436

Para asegurarnos el premio de primera categoría deberíamos invertir la cantidad de 13.983.816/0,50 = 6.991.908 euros. Esto nos lleva a plantarnos invertir tal cantidad de dinero si el bote es menor de esta cantidad, y incluso en tal supuesto, nuestra inversión seria ruinosa si hay más de un boleto premiado de primera categoría.

Bonoloto: 6 Aciertos de Lotería

Para ganar el premio máximo con una apuesta sencilla hay que acertar los 6 números, veamos que probabilidad hay de que esto ocurra:

• En el primer número extraído nos resultan favorables seis casos de entre los posibles cuarenta y nueve, por lo tanto hay que dividir 6/49 =0,1224.
• En la segunda extracción, al haber salido ya un número, quedan cinco favorables y cuarenta y ocho posibles, es decir 5/48 = 0,1042, y así, en progresión hasta llegar a la sexta, donde llegaríamos a dividir el último número entre los 44 que nos quedarían posibles.
• 4/47 = 0,0851
• 3/46 = 0,0652
• 2/45 = 0,0444
• 1/44 = 0,02273
• 3/46 = 0,0652
• 2/45 = 0,0444
• 1/44 = 0,02273

Si observas estos números con cada acierto baja la probabilidad que aciertes el siguiente número. Si juntamos estas probabilidades podemos calcular la probabilidad que acertemos los 6 números:
6/49*5/48*4/47*3/46*2/45*1/44 = 720/10.068.347.520 = 1/13.983.816 = 0,00000007

El juego consiste en adivinar 6 números de 49 posibles del boleto, dicho boleto es una combinación de seis elementos de las posibles que se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4,..., 49. Por tanto, el número de combinaciones posibles es:

C (49 6) = 49*48*47*46*45*44/6! = 13.983.816

Bonoloto: 5 Aciertos más el complementario

El premio de 2ª categoría se otorga cuando se aciertan 5 de los 6 números de la combinación ganadora más el llamado complementario, número que se ha extraído al azar de entre los 43 que no forman parte de dicha combinación.

Si has acertado 5 de los 6 números tienes una oportunidad de obtener un premio mayor. Se saca una séptima bola y si aciertas también este número complementario el premio es mayor que el de 5 aciertos pero menos que el de 6 aciertos.
Para acertar 5 de 6 bolas extraídas debes fallar una. Cualquiera de las 6 bolas escogidas puede ser la bola no acertada. Imagina que fallas solo la última. Entonces la probabilidad de acertar las primeras cinco bolas y que la sexta sea el complementario es:
6/49*5/48*4/47*3/46*2/45*1/44 = 720/10.068.347.520

Pero cualquiera de las 6 bolas pueden ser la bola no acertada con lo cual la probabilidad de acertar 5 de 6 y el complementario es:
6* 720/10.068.347.520 = 6/13.983.816 = 0,000000429

En palabras significa que por apuesta jugada la probabilidad de acertar 5 números y el complementario es 6 veces la probabilidad de acertar los 6 números, menos de 1 entre 2 millones (2.330.636) posibilidades.

Bonoloto: 5 Aciertos

La 3ª categoría de premios consiste en acertar 5 de lo 6 números ganadores.

Para acertar 5 de 6 bolas extraídas debes fallar una. Cualquiera de las 6 bolas escogidas puede ser la bola no acertada. Imagina que fallas solo la última. Entonces la probabilidad de acertar las primeras cinco bolas pero fallar la sexta (solo quedan 42 quitando las 6 premiadas y el complementario) tiene la siguiente probabilidad:
9/49*5/48*4/47*3/46*2/45*42/44 = 30.240/10.068.347.520

Pero cualquiera de las 6 bolas pueden ser la bola no acertada con lo cual la probabilidad de acertar 5 de 6 es:
6* 30.240/10.068.347.520 = 181.440/10.068.347.520 = 252/13.983.816 = 0,000018

Resumiendo, la probabilidad de acertar 5 de 6 bolas en la bonoloto es 252 veces la probabilidad de acertar los 6 números, más o menos 1 entre 55.491 posibilidades.

Bonoloto: 4 Aciertos

La 4ºcategoría de premios consiste en acertar 4 de los 6 números ganadores.

Para acertar 4 de 6 bolas extraídas debes fallar dos números. Entonces la probabilidad de que acertar las primeras 4 y no acertar las últimas dos es:
6/49*5/48*4/47*3/46*43/45*42*44 = 650.160/10.068.347.520

Pero como el orden de los números acertados y no acertados no importa hay 15 combinaciones que dan el mismo resultado:
15* 650.160/10.068.347.520 = 9.752.400/10.068.347.520 = 13.545/13.983.816 = 0,000969

Resumiendo, la probabilidad de acertar 4 de 6 bolas en la bonoloto es 13545 veces la probabilidad de acertar los 6 números, o sea más o menos 1 entre 1032 posibilidades.

Bonoloto: 3 Aciertos

La 5º categoría de premios consiste en acertar 3 de los 6 números ganadores.

Para acertar 3 de 6 bolas extraídas debes fallar tres números. Entonces la probabilidad de que acertar las primeras 3 y no acertar las últimas tres es:
6/49*5/48*4/47*43/46*42/45*41/44 = 8.885.520/10.068.347.520

Pero como el orden de los números acertados y no acertados no importa hay 20 combinaciones que dan el mismo resultado:
20* 8.885.520/10.068.347.520 = 177.710.400/10.068.347.520 = 246.820/13.983.816 = 0,0177

Como hay que acertar 3 de los 6 números premiados, el número de posibles boletos son combinaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3, C6,3 por combinaciones de 43 elementos tomados de 3 en 3, C 43,3 (una vez que he acertado 3 números, los otros tres pueden ser cualquiera de los 43 no premiados).

Resumiendo, la probabilidad de acertar 3 de 6 bolas en La Bonoloto es 246.820 veces la probabilidad de acertar los 6 números, o sea más o menos 1 entre 57 posibilidades.

Bonoloto: 0 Aciertos

Acertar ninguno de los 6 números no es difícil.

Hay 6 números buenos y 43 números no deseados, por lo tanto la probabilidad de que los seis números extraidos no sean aciertos es:
43/49*42/48*41/47*40/46*39/45*38/44 = 4.389.446.880/10.068.347.520 = 6.096.454/13.983.816 = 0,436

En conclusión, la probabilidad de no acertar ningún número es más o menos 1 entre 2,29